Question

已知：有穷数列{a_n}共有2k项(整数k≥2)，a₁＝2，设该数列的前n项和为S_n且满足S_n＋1＝aS_n＋2(n＝1，2，…，2k－1)，a＞1．

(1)求{a_n}的通项公式；

(2)设b_n＝log₂a_n，求{b_n}的前n项和T_n；

(3)设c_n＝，若a＝2，求满足不等式|C₁－|＋|C₂－|＋…＋|C_2k－1－|＋|C_2k－|≥时k的最小值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由Sn＋1＝aSn＋2(n＝1，2，…，2k－1)　(1) 　　Sn＝aSn－1＋2(n＝2，3，…，k)　(2)　2分 　　(1)－(2)得an＋1＝a·an(n＝2，3，…，2k－1) 　　由(1)式S2＝aS1＋2，a1＋a2＝aS1＋2　3分 　　解得a2＝2a，因为＝a 　　所以{an}是以2为首项，a为公比的等比数列，an＝2·an－1(n＝1，2…，2k)　4分 　　(2)∵bn－bn－1＝log2an－logan－1＝log2an－1log2＝log2a　(n＝2，3…，2k) 　　∴{bn}是以b1＝1为首项，以log2a(a＞1)为公差的等差数列　6分 　　∴Tn＝＝＝n＋ (a＞1，n＝1，2，…，2k)　8分 　　(3)cn＝＝1＋＝1＋(n＝1，2，…，2k)　10分 　　当cn≤时，n≤k＋，n为正整数，知n≤k时，cn＜ 　　当n≥k＋1时，cn＞　11分 　　 　　＝(－c1)＋(－c2)＋…＋(－ck)＋(ck＋1－)＋…＋(c2k－) 　　＝(ck+1＋ck＋2＋…＋c2k)－(c1＋c2＋…＋ck) 　　＝{[k＋(k＋1)＋…＋(2k－1)]＋2k}－{[1＋2＋…＋(k－1)]＋k} 　　＝[－] 　　＝≥ 　　即11k2－72k＋36≥0，(11k－6)(k－6)≥0解得k≥6或k≤ 　　所以满足条件的k的最小值为6　14分