Question

如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1，到M的最短路线长为．设这条最短路线与CC1的交点为N，求： (1) 该三棱柱的侧面展开图的对角线长 (2) PC和NC的长 (3) 平面NMP与平面ABC所成二面角(锐角)的大小(用反三角函数表示)

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：正三棱柱ABC－A1B1C1侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为=．
(2)	如图所示，将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连结MP1，则MP1，就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线． 　　设PC=x，则P1C=x，在Rt△MAP1中，由勾股定理得(3＋x)2＋22=29，解得x=2，∴PCP1C=2∵==∴NC=．
(3)	如图所示，连结PP1，则PP1就是平面NMP与平面ABC的交线，作NH⊥PP1于H，又CC1⊥平面ABC，连结CH，由三垂线定理得CH⊥PP1． 　　∴∠NHC就是平面NMP与平面ABC所成二面角的平面角(锐角)． 　　在Rt△PHC中，∵∠PCH=∠PCP=，∴CH==1． 　　在Rt△NCH中，tan∠NHC===． 　　故平面NMP与平面ABC所成二面角(锐角)的大小为arctan． 　　点评：(1)本题体现了空间问题平面化的思想．(2)无棱二面角的处理，一是用S·cosθ=S射影，二是寻找两个公共点，作出棱．