Question

求下列函数的值域：

(1)y＝；

(2)y＝；

(3)y＝|x＋1|＋|x－2|．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)因为y＝＝，所以其图象是由y＝向右平移一个单位再向上平移一个单位所得(如图)，所以这个函数的值域为{y|y≠1}． 　　(2)令t＝5＋4x－x2，因为t＝5＋4x－x2＝－(x－2)2＋9，所以t≤9，又因为y＝，所以t≥0，所以0≤t≤9，得y＝∈[0，3]，即这个函数的值域为y∈[0，3]． 　　(3)将原函数中的绝对值去掉，化为分段函数f(x)＝分段求其值域得，当x≤－1时，f(x)≥3，当－1＜x≤2时，f(x)＝3，当x＞2时，f(x)≥3，所以值域为y∈[3，＋∞)． 　　点评：求函数值域是学习中的一个难点，方法灵活多样，初学时只要掌握几种常用方法，如观察法、图象法、配方法等． 　　用图象法解题首先要能正确画出函数的图象．对于函数图象的画法，除了描点法外，还应掌握几种变换，平移变换、对称变换． 　　对于含绝对值的函数，一般通过对绝对值内表达式符号的讨论，将含绝对值的解析式转化为不含绝对值的解析式，再画出图象． 　　本题中第1小题通过分离常数法将函数变形，发现该函数可以由反比例函数经过平移变化得来，再结合图象得到函数的值域． 　　此题还可以推广为一般结论，对于形如y＝(a≠0)的函数，

提示：

分式函数求值域的难点是分子分母上都有自变量，而求值域又不能简单地通过分子分母的值域相除来得到，所以我们常常通过对函数形式的变化使得自变量只出现在分子或分母上．第2小题要注意函数的定义域，含有绝对值的问题我们通常将绝对值去掉，将其转化成不含绝对值的问题来处理．