Question

在△ABC中，H为垂心，G为重心，O为外心，求证：．

Answer 1

【答案】分析：分析：根据题意作出图形，由外心和垂心的性质证明四边形AHCD是平行四边形，由向量加法的三角形法则得 =+，由向量相等和向量的减法运算进行转化，得到 ，再根据△ABC重心为G满足 =，结合已知中 ，我们易判断出 =3 ，根据数乘向量的几何意义，即可得到O，G，H三点共线，且OG：GH=1：2即可．
解答：解答：解：如图：作直径BD，连接DA、DC，
由图得，=-，
∵H为△ABC的垂心，∴CH⊥AB，AH⊥BC，
∵BD为直径，∴DA⊥AB，DC⊥BC
∴CH∥AD，AH∥CD，故四边形AHCD是平行四边形，∴=
又∵=-=+，
∴=+=+=++，
∵G为△ABC的重心
∴=3 =3 +=
即 =3
即O，G，H三点共线，且OH=3OG
即O，G，H三点共线，且OG：GH=1：2．
从而得到：．
点评：点评：本题考查的知识点是三角形的五心，其中熟练掌握向量五心的向量表达式形式，如（1）中△ABC外心为O满足 ，（2）中△ABC重心为G满足 =，是解答此类问题的关键．