Question

已知直线l：y=k （x+2）与圆O：x²+y²=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S．
（Ⅰ）试将S表示成的函数S（k），并求出它的定义域；
（Ⅱ）求S的最大值，并求取得最大值时k的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求出原点到直线的距离，并利用弦长公式求出弦长，代入三角形的面积公式进行化简．
（Ⅱ）换元后把函数S的解析式利用二次函数的性质进行配方，求出函数的最值，注意换元后变量范围的改变．
解答：解：（Ⅰ）直线l方程，
原点O到l的距离为（3分）
弦长（5分）
•ABO面积•
∵|AB|＞0，∴-1＜K＜1（K≠0），•
∴（-1＜k＜1且K≠0） （8分），
（Ⅱ） 令  ，

∴．
∴当t=时，时，S_max=2（12分）
点评：本题考查点到直线的距离公式、弦长公式的应用，以及利用二次函数的性质求函数的最大值，注意换元中变量范围的改变．