Question

右图是一个直三棱柱(以A₁B₁C₁为底面)被一平面所截得到的几何体，截面为ABC已知A₁B₁＝B₁C₁＝l，∠A_lB_lC₁＝90°，AA_l＝4，BB_l＝2，CC_l＝3．

(1)设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A₁B₁C₁；

(2)求二面角B－AC－A₁的大小；

(3)求此几何体的体积．

Answer 1

答案：
解析：

解法一： 　　(1)证明：作交于，连． 则． 因为是的中点， 所以． 则是平行四边形，因此有． 平面且平面， 则面． 　　(2)如图，过作截面面，分别交，于，． 作于，连． 因为面，所以，则平面． 又因为，，． 所以，根据三垂线定理知，所以就是所求二面角的平面角． 因为，所以，故， 即：所求二面角的大小为． 　　(3)因为，所以 ． ． 所求几何体体积为 ． 　　解法二： 　　(1)如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则，，，因为是的中点，所以， ． 易知，是平面的一个法向量． 因为，平面，所以平面． 　　(2)，， 设是平面的一个法向量，则 则，得： 取，． 显然，为平面的一个法向量． 则，结合图形可知所求二面角为锐角． 所以二面角的大小是． 　　(3)同解法一．