Question

15．已知函数f（x）=|x+1|-|x-3|．
（Ⅰ）画出函数f（x）的图象；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥$\frac{|3m+1|-|1-m|}{|m+1|}$对任意实数m≠-1，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用绝对值的含义，对x讨论，分x＞3，-1≤x≤3，x＜-1，去掉绝对值，画出图象即可；
（Ⅱ）运用绝对值不等式的性质，可得不等式右边的最大值为2，再由不等式恒成立思想可得f（x）≥2，再由去绝对值的方法，即可解得x的范围．

解答 解：（Ⅰ）由零点分段法，
得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-4，x＜-1}\\{2x-2．-1≤x≤3}\\{4，x＞3}\end{array}\right.$，
函数f（x）的图象如图所示：
（Ⅱ）$\frac{|3m+1|-|1-m|}{|m+1|}$≤$\frac{|3m+1+1-m|}{|m+1|}$=2，
当且仅当（3m+1）（1-m）≤0，
且|3m+1|≥|1-m|，m≠-1，
即m≥1或m＜-1时，取等号，
由不等式f（x）≥$\frac{|3m+1|-|1-m|}{|m+1|}$对任意实数m≠=-1恒成立，得|x+1|-|x-3|≥2，
由（Ⅰ）中图象，可知x≥2，
所以实数x的取值范围是{x|x≥2}

点评 本题考查绝对值不等式的解法，同时考查不等式恒成立问题的求法，运用分类讨论的思想方法和绝对值不等式的性质是解题的关键．