Question

已知一个样本共有2n个数据，其中前n个数据的平均数为₁，方差为s₁²后n个数据的平均数为₂，方差为s₂²。设该总体样本的平均数为，方差为s²。

求证：（1）＝（₁＋₂）；   （2）s²＝＋（）²。

 

Answer 1

答案：
解析：

证明：（1）设2n个数据分别为x1、x2、…、xn、xn+1、…、x2n，则1＝（x1＋x2＋…xn），2＝（xn＋1＋xn＋2…x2n）， ∴ ＝（x1＋x2…xn＋xn＋1＋xn＋2＋…＋x2n） ＝［（x1＋x2…＋xn）＋（xn＋1＋xn＋2＋…＋x2n）］ ＝（1＋2）。 又s12＝［（－x1）2＋（1－x2）2＋…＋（1－xn）2］ ＝［n12＋（x1＋x22＋…＋xn2）－21（x1＋x2＋…＋xn）］ ＝（x12＋x22＋…xn2）－12。 同理，s22＝（xn＋12＋xn＋22＋…x2n2）－22， ∴ s2＝（x12＋x22＋…xn2＋xn＋12＋…x2n2）－2 ＝（s12＋12＋s22＋22）－（12＋212＋22） ＝＋（）2。