Question

已知S_n是等比数列{a_n}的前n项和，其公比为q，若S₃、S₉、S₆成等差数列．求
（1）q³的值；
（2）求证：a₃、a₉、a₆也成等差数列．

Answer 1

【答案】分析：（1）由等比数列的定义，验证得当q=1时不符合题意，因此得q≠1．再由等比数列的求和公式，结合S₃、S₉、S₆成等差数列建立关于q的方程，解之即可得到q³的值；
（2）根据q³=-，由等比数列的通项公式，化简可得2a₉-（a₃+a₆）=0，即2a₉=a₃+a₆，可得a₃、a₉、a₆也成等差数列．
解答：解：（1）当q=1时，S₃=3a₁、S₉=9a₁、S₆=6a₁，
显然S₃、S₉、S₆不能成等差数列，不符合题意，因此得q≠1      （1分）
由S₃、S₉、S₆成等差数列，得2S₉=S₃+S₆
即2•=+
∴化简可得2q⁶=1+q³，（4分）
即（2q³+1）（q³-1）=0，解之得q³=-（舍去q³=1）（6分）
（2）由等比数列的通项公式，可得
a₉=a₁q⁸，a₃+a₆=a₁q²+a₁q⁵，
∵q³=-
∴2a₉-（a₃+a₆）=a₁q²（2q⁶-1-q³）
=a₁q²[2×（-）²-1-（-））=0
∴2a₉=a₃+a₆，可得a₃、a₉、a₆也成等差数列．（12分）
点评：本题给出等比数列的前3项和、前6项和与前9项和成等差数列，求它的公比并证明a₃、a₉、a₆也成等差数列．着重考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了等差中项的概念，属于中档题．