Question

（2005•温州一模）已知f(x)=2

3

cos2x+sin2x
（I）求f（x）的最小正周期．
（II）当x∈[0，

π

2

]时，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：由二倍角公式及辅助角公式对函数化简可得f（x）=2cos(2x-

π

6

)+

3

（I）由周期公式T=

2π

ω

可求
（II） 由x∈[0，

π

2

]可得-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，结合余弦函数的性质可求函数的最值

解答：解：∵f(x)=2

3

cos2x+sin2x=

3

cos2x+sin2x+

3

=2cos(2x-

π

6

)+

3

（6分）
（I）f（x）的周期是π．（8′）
（II） 当x∈[0，

π

2

]时，-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

．
所以当x=

π

12

时，f（x）取到最大值2+

3

 （10′）
当x=

π

2

时，f（x）取到最小值0．（12′）

点评：本题主要考查了二倍角公式、辅助角公式在函数化简中的应用，余弦函数的周期公式的应用及函数最值的求解，属于函数知识的简单应用．