Question

5．把一副三角板ABC与ABD摆成如图所示的直二面角D-AB-C，（其中BD=2AD，BC=AC）则异面直线DC，AB所成角的正切值为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{7}$
• C． $\frac{{\sqrt{21}}}{7}$
• D． $\frac{{\sqrt{21}}}{3}$

Answer 1

分析 以A为原点，AB、AD所在直线分别为y轴和x轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线DC，AB所成角的正切值．

解答 解：以A为原点，AB、AD所在直线分别为y轴和x轴，建立如图坐标系
Rt△ABD中，AD：AB：BD=1：$\sqrt{3}$：2，
Rt△ABC中，AC：AB：BC=1：$\sqrt{2}$：1，
设AD=$\sqrt{2}$，则AB=$\sqrt{6}$，BC=AC=$\sqrt{3}$，
则A（0，0，0），B（0，-$\sqrt{6}$，0），C（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0），D（0，0，$\sqrt{2}$），
∴$\overrightarrow{AB}$=（0，-$\sqrt{6}$，0），$\overrightarrow{DC}$=（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，-$\sqrt{2}$），
设异面直线DC，AB所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{DC}|}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{DC}|}$=$\frac{\frac{6}{2}}{\sqrt{5}×\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$，
∴sinθ=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{30}}{10}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{70}}{10}$，
∴异面直线DC，AB所成角的正切值tanθ=$\frac{\frac{\sqrt{70}}{10}}{\frac{\sqrt{30}}{10}}$=$\frac{\sqrt{21}}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查异面直线所成角的正切值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．