Question

三棱锥V－ABC中，AH⊥侧面VBC，且H是△VBC的垂心．

(1)求证：VC⊥AB；

(2)若二面角H－AB－C的大小为30°，求VC与平面ABC所成角的大小．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：连BH交VC于E， ∵H为△VBC的垂心， ∴VC⊥BE，又AH⊥平面VBC，则BE为斜线AB在平面VBC上的射影， ∴AB⊥VC； (2)解：由(1)知VC⊥AB，VC⊥BE， ∴VC⊥平面ABE，在平面ABE上，作DE⊥AB，又AB⊥VC， ∴AB⊥平面DEC， ∴AB⊥CD， ∴∠EDC为二面角E－AB－C的平面角， ∴∠EDC=30°， ∵AB⊥平面VCD， ∴VC在底面ABC上射影为CD， ∴∠VCD为VC与底面ABC所成角，又VC⊥DE， ∴∠CED=90°，故∠ECD=60°． ∴VC与面ABC所成角为60°．