Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2AD，设∠DAB=θ，θ∈（0，），以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e₁，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e₂，则（　　）

	A．	随着角度θ的增大，e1增大，e1e2为定值
	B．	随着角度θ的增大，e1减小，e1e2为定值
	C．	随着角度θ的增大，e1增大，e1e2也增大
	D．	随着角度θ的增大，e1减小，e1e2也减小

Answer 1

考点：

椭圆的简单性质．

专题：

计算题；压轴题．

分析：

连接BD、AC，假设AD=t，根据余弦定理表示出BD，进而根据双曲线的性质可得到a的值，再由AB=2c，e=可表示出e₁=，最后根据余弦函数的单调性可判断e₁的单调性；同样表示出椭圆中的c'和a'表示出e₂的关系式，最后令e₁、e₂相乘即可得到e₁e₂的关系．

解答：

解：连接BD，AC设AD=t

则BD==

∴双曲线中a=

e₁=

∵y=cosθ在（0，）上单调减，进而可知当θ增大时，y==减小，即e₁减小

∵AC=BD

∴椭圆中CD=2t（1﹣cosθ）=2c∴c'=t（1﹣cosθ）

AC+AD=+t，∴a'=（+t）

e₂==

∴e₁e₂=×=1

故选B．

点评：

本题主要考查椭圆和双曲线的离心率的表示，考查考生对圆锥曲线的性质的应用，圆锥曲线是高考的重点每年必考，平时要注意基础知识的积累和练习．