Question

在△ABC中，H为垂心，G为重心，O为外心，求证：

HG

=2

GO

．

Answer 1

分析：分析：根据题意作出图形，由外心和垂心的性质证明四边形AHCD是平行四边形，由向量加法的三角形法则得

OH

=

OA

+

AH

，由向量相等和向量的减法运算进行转化，得到

OA

+

OB

+

OC

=

OH

，再根据△ABC重心为G满足

GA

+

GB

+

GC

=

0

，结合已知中

OA

+

OB

+

OC

=

OH

，我们易判断出

OH

=3

OG

，根据数乘向量的几何意义，即可得到O，G，H三点共线，且OG：GH=1：2即可．

解答：解答：解：如图：作直径BD，连接DA、DC，
由图得，

OB

=-

OD

，
∵H为△ABC的垂心，∴CH⊥AB，AH⊥BC，
∵BD为直径，∴DA⊥AB，DC⊥BC
∴CH∥AD，AH∥CD，故四边形AHCD是平行四边形，∴

AH

=

DC

又∵

DC

=

OC

-

OD

=

OC

+

OB

，
∴

OH

=

OA

+

AH

=

OA

+

DC

=

OA

+

OB

+

OC

，
∵G为△ABC的重心
∴

GA

+

GB

+

GC

=(

GO

+

OA

)+(

GO

+

OB

)+(

GO

+

OC

)=3

GO

+

OA

+

OB

+

OC

=3

GO

+

OH

=

0

即

OH

=3

OG

即O，G，H三点共线，且OH=3OG
即O，G，H三点共线，且OG：GH=1：2．
从而得到：

HG

=2

GO

．

点评：点评：本题考查的知识点是三角形的五心，其中熟练掌握向量五心的向量表达式形式，如（1）中△ABC外心为O满足 |

OA

|=|

OB

|=|

OC

|，（2）中△ABC重心为G满足

GA

+

GB

+

GC

=

0

，是解答此类问题的关键．