Question

求证：e^x≥x+1。

 

Answer 1

答案：
解析：

证明：设f(x)=ex-x-1，f(x)=ex-1 　　 (1)当x≤-1时，x+1≤0，ex＞0  ∴ ex＞x+1 　　 (2)当x=0时，ex=1，x+1=1，∴ ex=x+1 　　 (3)当-1＜x＜0时，f′(x)=ex-1＜0， 　　  ∴ f(x)=ex-x-1在区间(-1，0)内是减函数。 　　  ∴ f(x)＞f(0)=0 ∴ ex-x-1＞0 　　  ∴ ex＞x+1. 　　  (4)当时，f′(x)=ex-1＞0 　　  ∴ f(x)=ex-x-1在区间(0，+∞)内是增函数。 　　  ∴ f(x)＞f(0)=0. 　　  ∴ ex-x-1＞0. 　　  ∴ ex＞x+1. 　　  综合(1)(2)(3)(4)可知对xR，ex≥x+1成立。