Question

三棱锥V—ABC中，VA=VB=VC=a，VA⊥VB，VA⊥VC，当三棱锥体积最大时，

⑴求三棱锥顶点V到底面ABC的距离，

⑵求二面角V－BC－A的正弦值。

 

Answer 1

答案：
解析：

解： (1) ∵VA⊥VB，VA⊥VC                     ∴VA⊥平面VBC                  ∴VV－ABC =VA－BCV               =              =                =                                 当且仅当∠BVC=90°时取等号                ∴当VB⊥VC时三棱锥V－ABC体积最大，最大值为                由勾股定理可得AB=BC=AC=               ∴                                                              过V作VO⊥平面ABC于O                    则VO为V到平面ABC的距离                    ∵VV－ABC  =VA－VBC                              ∴                    ∴VO=                    即V到底面ABC 的距离为                      ⑵    ∵VA=VB=VC                   ∴V在平面ABC上的射影O为△ABC的外心                      连AO并延长交BC于H，连VH                              ∴AH⊥BC                              ∵VO⊥底面ABC                   ∴VH⊥BC                   ∴∠VHO为二面角的平面角                   在Rt△BVC中∵BH=HC                   ∴VH=                               在Rt△VOH中sin∠VOH=