Question

某工厂生产两批产品，第一批的10件产品中优等品有4件；第二批的5件产品中优等品有3件，现采用分层抽样方法从两批产品中共抽取3件进行质量检验．
（I）求从两批产品各抽取的件数；
（Ⅱ）记ξ表示抽取的3件产品中非优等品的件数，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析：（I）第一批有10件产品，第二批有5件产品，共有产品10+5件，现采用分层抽样方法从两批产品中共抽取3件进行质量检验，得到每个个体被抽到的概率，根据两种产品的个数和被抽到的概率得到结果．
（Ⅱ）根据ξ表示抽取的3件产品中非优等品的件数，而第一批的10件产品中优等品有4件；第二批的5件产品中优等品有3件，得到ξ的可能取值为0，1，2，3，写出变量的分布列，写分布列时，可以把最麻烦的放到最后，根据概率之和是1得到．

解答：解：（I）∵第一批有10件产品，第二批有5件产品，
现采用分层抽样方法从两批产品中共抽取3件进行质量检验，
∴每个个体被抽到的概率是

3

10+5

=

1

5

∴第一批应抽取

1

5

×10=2件，
第二批应抽取

1

5

×5=1件；
（Ⅱ）∵ξ表示抽取的3件产品中非优等品的件数，
∴ξ的可能取值为0，1，2，3
P（ξ=0）=

C 2 4

C 2 10

×

C 1 3

C 1 5

=

6

75

P（ξ=1）=

C 1 4 C 1 6 C 1 3

C 2 10 C 1 5

+

C 2 4 C 1 2

C 2 10 C 1 5

=

28

75

P（ξ=3）=

C 2 6 C 1 2

C 2 10 C 1 5

=

10

75

P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=

31

75

∴ξ的分布列如下：

∴Eξ=0×

6

75

+1×

28

75

+2×

31

75

+3×

10

75

=

8

5

．

点评：本题是一个分层抽样和离散型随机变量的分布列和期望问题，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，是可以得满分的一道题目．