Question

（2011•重庆二模）已知数列{a_n}中，对任意n∈N^*都有a_n+2=a_n-1-a_n，若该数列前63项和为4000，前125项和为1000，则该数列前2011项和为

1000

．

Answer 1

分析：根据递推公式a_n+2=a_n+1-a_n，分别n=n+1和n=n+3代入递推公式，求出数列的周期为T=6，并且求出每6项的和为0，再根据前63项的和，前125项的和，计算出a₁和a₂可知前2011项的和．

解答：解：由题意知：
∵a_n+2=a_n+1-a_n ，令n=n+1得，
∴a_n+3=a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n-a_n+1=-a_n
再令n=n+3得：a_n+6=-a_n+3=a_n  
则此数列的周期T=6，
 又∵前6项分别为：a₁，a₂，a₂-a₁，-a₁，-a₂，a₁-a₂   
∴每6项和为0，即s₆=0
又∵s₆₃=a₁+a₂+a₃=2a₂=4000，∴a₂=2000
又∵s₁₂₅=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=a₂-a₁=1000，∴a₁=1000
又∵s₂₀₁₁=a₁
∴s₂₀₁₁=1000
故选B．

点评：本题必须根据递推公式，利用赋值法求出此数列的周期，根据周期性和条件求出a₁，然后才能求出s₂₀₁₁的和，对学生来说入手比较难，考查了逻辑思维能力和观察能力．