Question

(20)设函数f(x)=x(x－1)(x－a)(a＞1).

(Ⅰ)求导数f′(x),并证明f(x)有两个不同的极值点x₁、x₂;

(Ⅱ)若不等式f(x₁)+f(x₂)≤0成立,求a的取值范围.

Answer 1

(20)解: (Ⅰ)f′(x)=3x²－2(1+a)x+a.

令f′(x)=0得方程3x²－2(1+a)x+a=0.

因Δ=4(a²－a+1)≥4a＞0,故方程有两个不同实根x₁,x₂.

 

不妨设x₁＜x₂，由f′(x)=3(x－x₁)(x－x₂)可判别f′(x)的符号如下：

当x＜x₁时，f′(x)＞0;

当x₁＜x＜x₂时，f′(x)＜0;

当x＞x₂时，f′(x)＞0.

因此x₁是极大值点，x₂是极小值点.

(Ⅱ)因f(x₁)+f(x₂)≤0，故得不等式

x₁³+x₂³－(1+a)(x₁²+x₂²)+a(x₁+x₂)≤0,

即(x₁+x₂)［(x₁+x₂)²－3x₁x₂］－(1+a)［(x₁+x₂)²－2x₁x₂］+a(x₁+x₂)≤0.

又由(Ⅰ)知

代入前面不等式，两边除以(1+a),并化简得2a²－5a+2≥0.

解不等式得a≥2或a≤ (舍去).

因此，当a≥2时，不等式f(x₁)+f(x₂)≤0成立.