Question

如图，在五面体ABCDEF中，AB∥DC，，CD=AD=2，四边形ABFE为平行四边形，FA⊥平面ABCD，，求：
（Ⅰ）直线AB到平面EFCD的距离；
（Ⅱ）二面角F-AD-E的平面角的正切值．

Answer 1

【答案】分析：解法一：（几何法）（Ⅰ）AB到面EFCD的距离等于点A到面EFCD的距离，故可过A作平面EFCD的垂线，注意到面AFD⊥面EFDC，故只需过A作FD的垂线即可．
（Ⅱ）由已知条件做出二面角F-AD-E的平面角，再求解．已知FA⊥AD，再可求证EA⊥AD，故，∠FAE为二面角F-AD-E的平面角，再解△AEF即可．
解法二：（向量法）由AB、AD、AF两两垂直，故可通过向量法求解．
（Ⅰ）求平面EFCD的法向量，则直线AB到平面EFCD的距离=
（Ⅱ）分别求出两个面的法向量，再求两个法向量的余弦，即二面角F-AD-E的平面角的余弦，再求正切即可．
解答：解：法一：
（Ⅰ）∵AB∥DC，DC?平面EFCD，
∴AB到面EFCD的距离等于点A到面EFCD的距离，
过点A作AG⊥FD于G，因AB∥DC，
故CD⊥AD；又∵FA⊥平面ABCD，
由三垂线定理可知，CD⊥FD，
故CD⊥面FAD，知CD⊥AG，
所以AG为所求直线AB到面EFCD的距离．
在Rt△FCD中，
由FA⊥平面ABCD，得FA⊥AD，从而在Rt△FAD中

∴．
即直线AB到平面EFCD的距离为．
（Ⅱ）由己知，FA⊥平面ABCD，得FA⊥AD，
又由，知AD⊥AB，
故AD⊥平面ABFE∴DA⊥AE，
所以，∠FAE为二面角F-AD-E的平面角，记为θ．
在Rt△AED中，，
由平行四边形ABCD得，FE∥BA，从而
在Rt△AEF中，，
故
所以二面角F-AD-E的平面角的正切值为．

法二：
（Ⅰ）如图以A点为坐标原点，的方向为x，y，z的正方向建立空间直角坐标系数，则A（0，0，0）
C（2，2，0）D（0，2，0）设F（0，0，z）（z＞0）可得，
由．即，
解得F（0，0，1）
∵AB∥DC，DC?面EFCD，
所以直线AB到面EFCD的距离等于点A到面EFCD的距离．
设A点在平面EFCD上的射影点为G（x₁，y₁，z₁），
则因且，
而，
此即解得x₁=0①，知G点在yoz面上，
故G点在FD上.，
故有②联立①，②解得，
∴为直线AB到面EFCD的距离．
而所以
（Ⅱ）因四边形ABFE为平行四边形，
则可设E（x，0，1）（x＜0），．
由得，
解得．即．故
由，
因，，
故∠FAE为二面角F-AD-E的平面角，
又∵，，，
所以
点评：本题考查空间的角和空间距离的计算，考查空间想象能力和运算能力．注意几何法和向量法的应用．