Question

已知O（0，0），B（1，0），C（b，c）是△OBC的三个顶点．如图.

（Ⅰ）写出△OBC的重心G，外心F，垂心H的坐标，并证明G、F、H三点共线；

（Ⅱ）当直线FH与OB平行时，求顶点C的轨迹．

Answer 1

答案：
解析：

（Ⅰ）解：由△OBC三顶点坐标O（0，0），B（1，0），C（b，c）（c≠0），可求得重心G（），外心F（），垂心H（b，）. 当b=时，G、F、H三点的横坐标均为，故三点共线； 当b≠时，设G、H所在直线的斜率为kGH，F、G所在直线的斜率为kFG. 因为， ， 所以，kGH=kFG，G、F、H三点共线. 综上可得，G、F、H三点共线. （Ⅱ）解：若FH∥OB，由kFH==0，得 3（b2－b）+c2=0（c≠0，b≠）， 配方得3（b－）2+c2=，即 . 即=1（x≠，y≠0）. 因此，顶点C的轨迹是中心在（，0），长半轴长为，短半轴长为，且短轴在 x轴上的椭圆，除去（0，0），（1，0），（，），（，－）四点.