Question

如图，三棱锥中，底面，，，为的中点，点在上，且．

　　　 （1）求证：平面平面；

　　　 （2）求平面与平面所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值．

　

Answer 1

（1）证明：∵底面，且底面， ∴    ………1分

       由，可得           …………………………2分

       又 ，∴平面                ………………3分

       注意到平面， ∴           …………………4分

              ,为中点，∴               ………………………5分

       ， 平面         ……………………6分

       而平面，∴       ……………7分

       （2）方法一、如图，以为原点、所在直线为轴、为轴建立空间直角坐标系．

则        …………………………8分

．      ………………………10分

设平面的法向量．

由得，

即……………（1）

      ……………（2）

取，则，．  ……………12分

取平面的法向量为

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

则，

故平面与平面所成角的二面角（锐角）的余弦值为．    ……………14分

方法二、取的中点，的中点，连接，

    ，，∴．                      ……………8分

    ， ∴．            ……………9分

    同理可证：． 又， ∴．……10分

则与平面所成的二面角的平面角（锐角）就等于平面与平面所成的二面角的平面角（锐角）

已知，，平面

∴，∴                     …………11分

 

又，∴平面

由于平面， ∴

而为与平面的交线，

又底面，平面

为二面角的平面角

                               …………12分

根据条件可得，

在中，

在中，由余弦定理求得                   …………13分

故平面与平面所成角的二面角（锐角）的余弦值为．  …………14分