(12分)如图，在三棱柱
中，侧面
，
均为正方形，∠
,点
是棱
的中点.
（Ⅰ）求证：
⊥平面
；
（Ⅱ）求证：
平面
；
（Ⅲ）求二面角
的余弦值.
解：（Ⅰ）证明：因为侧面
，
均为正方形，
所以
,
所以
平面
，三棱柱
是直三棱柱. ………………1分
因为
平面
，所以
， ………………2分
又因为
，
为
中点，
所以
. ……………3分
因为
,
所以
平面
. ……………4分
（Ⅱ）证明：连结
，交
于点
，连结
，
因为为正方形，所以为中点，
又为中点，所以为
中位线，
所以
， ………………6分
因为
平面
，
平面，
所以平面. ………………8分
(Ⅲ)解： 因为侧面，均为正方形， 
，
所以
两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系
.
设
，则
.
设平面的法向量为
，则有
，
， 
，
取
，得
.
又因为
平面，所以平面的法向量为
， 因为二面角
是钝角，所以，二面角的余弦值为
. -----------12分
科目：高中数学 来源： 题型：
（本小题满分12分）
如图，在三棱锥D－ABC中，已知△BCD是正三角
形，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝a，E为BC的中点，
F在棱AC上，且AF＝3FC．
（1）求三棱锥D－ABC的表面积；
（2）求证AC⊥平面DEF；
（3）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，
使MN∥平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不
存在，试说明理由．
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科目：高中数学 来源：2011-2012学年宁夏盐池高中高三摸底检测理科数学试卷 题型：解答题
（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1
均为正方形，∠BAC=90°,点D是棱B1C1的中点．
（1）求证：A1D⊥平面BB1C1C；
（2）求证：AB1∥平面A1DC；
（3）求二面角D-A1C-A的余弦值．
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科目：高中数学 来源：2012-2013学年黑龙江省双鸭山市高三第三次月考理科数学试卷（解析版） 题型：解答题
（本题满分12分）如图，在三棱锥
中，
底面
，点
，
分别在棱
上，且
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）当为
的中点时，求
与平面所成的角的正弦；
（Ⅲ）是否存在点使得二面角
为直二面角？并说明理由.
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科目：高中数学 来源：2010-2011学年山东省高三上学期期末考试数学理卷 题型：解答题
（本题满分12分）
如图，在三棱柱
中，侧面
，
均为正方形，∠
,点
是棱
的中点.
（Ⅰ）求证：
⊥平面
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值.
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科目：高中数学 来源：2010-2011年广西南宁沛鸿民族中学高二下学期期中考试数学 题型：解答题
（本小题满分12分）
如图，在三棱锥P－ABC中，PA＝PC，∠APC＝∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，平面PAC⊥平面ABC．
（1）求证：平面PAB⊥平面PBC；
（2）若PA＝2，求三棱锥P－ABC的体积．
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