Question

如图，过四面体V－ABC的底面上任一点O分别作OA₁∥VA，OB₁∥VB，OC₁∥VC，A₁，B₁，C₁分别是所作直线与侧面的交点，求证：为定值．

Answer 1

答案：
解析：

证明：如图，设平面OA1VA∩BC＝M，平面OB1VB∩AC＝N，平面OC1VC∩AB＝L，则有△MOA1∽△MAV，△NOB1∽△NBV，△LOC1∽△LCV．得 　　＝ 　　在底面△ABC中，由于AM、BN、CL交于一点O，用面积法易证得： 　　＝1． 　　∴＝1． 　　分析：考虑平面上的类似命题：“过△ABC(底)边AB上任一点O分别作OA1∥AC，OB1∥BC，分别交BC、AC于A1、B1，求证为定值”．这一命题利用相似三角形的性质很容易推出其定值为1．另外，过A、O分别作BC垂线，过B、O分别作AC垂线，用面积法也不难证明其定值为1．于是类比到空间图形，也可用两种方法证明其定值为1．