Question

求证：++…+=++…+．

Answer 1

【答案】分析：运用数学归纳法，分两步加以论证：①当n=1时，可得原等式为=，显然成立；②设当n=k时原等式成立，即有++…+=++…+，将此代入n=k+1的式子并利用=-进行化简，可证出当n=k+1的式子左右两边也相等．最后由①②相结合，可得原等式以任意的n∈N^*恒成立．
解答：解：①当n=1时，左边==，右边==，等式成立．
②假设当n=k时等式成立，即++…+=++…+．
则当n=k+1时，
++…++
=++…++
=++…++（+）
=++…++（+-）
=++…+++
=++…++，
即当n=k+1时，等式成立．
根据（1）（2）可知，对一切n∈N^*，原等式成立．
点评：本题给出一个恒等式，要求我们利用数学归纳法进行证明．着重考查了数列的通项写法、裂项法证明等式和数学归纳法的一般方法等知识，属于中档题．