Question

如图，在四棱锥中，平面平面．四边形为正方形，且 为的中点，为的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）若，为中点，在棱上是否存在点， 使得平面⊥平面，并证明你的结论.

 

Answer 1

证明：（Ⅰ）因为四边形为正方形，则. …………………1分

又平面平面，

且面面，

     所以平面.   ………………………………………………………3分

 

（Ⅱ）取SC的中点R，连QR, DR．

 由题意知：PD∥BC且PD=BC．…………………4分

     在中，为的中点，R为SC的中点，

     所以QR∥BC且QR=BC．

     所以QR∥PD且QR=PD，

     则四边形为平行四边形.  …………………………………………………7分

所以PQ∥DR.又PQ平面SCD，DR平面SCD， 

所以PQ∥平面SCD．  ……………………………………………………………10分

（Ⅲ）存在点为中点，使得平面平面．      ………………11分

连接交于点，连接、，

因为，并且，

所以四边形为平行四边形，所以.

又因为为中点，

所以．………………………………………………………………………12分

因为平面平面，平面平面=，并且，

所以平面，

所以平面，      ……………………………………………………13分

又因为平面，

所以平面平面．……………………………………………………14分