Question

设a＞0，a≠1，函数f（x）=log_a|ax²-x|在[3，4]上是增函数，则a的取值范围是（　　）

• A、

  1

  8

  ≤a＜

  1

  4

• B、a＞1或

  1

  6

  ≤a＜

  1

  4

• C、a＞1或

  1

  8

  ≤a＜

  1

  4

• D、

  1

  6

  ≤a＜

  1

  4

Answer 1

分析：画出函数t=|ax²-x|的图象，由题意可得，当a＞1时，t=|ax²-x|在[3，4]上是增函数，有3＞

1

a

，或4≤

1

2a

，当 1＞a＞0时，t=|ax²-x|在[3，4]上是减函数，有

1

2a

≤3，且 4＜

1

a

，分别求出a的取值范围，再取并集．

解答：解：令|ax²-x|=t，则 t＞0，故 x≠0 且 x≠

1

a

，如图所示：
 由题意可得，当a＞1时，t=|ax²-x|在[3，4]上是增函数，应有3＞

1

a

，或4≤

1

2a

，解得 a＞1．
当 1＞a＞0时，由题意可得 t=|ax²-x|在[3，4]上是减函数，

1

2a

≤3，且4＜

1

a

，解得 

1

6

≤a＜

1

4

．
综上，a＞1或

1

6

≤a＜

1

4

，
故选B．

点评：本题考查对数函数的单调性和特殊点，求复合函数的单调区间，体现了数形结合的数学思想．