Question

如图，边长为2的等边三角形PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，，M为BC的中点。

（1）证明：AM⊥PM；
（2）求二面角P-AM-D的大小；
（3）求点D到平面AMP的距离。

Answer 1

解：（1）取CD的中点E，连接PE、EM、EA
因为△PCD为正三角形，
所以PE⊥CD
因为平面PCD⊥平面ABCD，
所以PE⊥平面ABCD，
所以AM⊥PE
因为四边形ABCD是矩形，
所以△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形
由勾股定理可求得
，AE=3
所以EM²+AM²=AE²，
所以AM⊥EM
又PE∩EM=E，
所以AM⊥平面PEM
所以AM⊥PM。
（2）由（1）可知EM⊥AM，PM⊥AM，
所以∠PME是二面角P-AM-D的平面角
所以
所以∠PME=45°
所以二面角P-AM-D的大小为45°。
（3）设D点到平面PAM的距离为d，连接DM，
则V_P-ADM= V_D-PAM，
所以
而
在Rt△PEM中，由勾股定理可求得，
所以S_△PAM=
所以
所以
即点D到平面AMP的距离为。