Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1，n∈N^*，且a₁、a₂+5、a₃成等差数列．则a_n=

 

．

Answer 1

分析：由于2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1，n∈N^*，且a₁、a₂+5、a₃成等差数列，可得

2a1=a2-3 2(a1+a2)=a3-7 2(a2+5)=a1+a3

，解得a₁．由2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1，n∈N^*，当n≥2时，可得2Sn-1=an-2n+1，可得an+1=3an+2n，变形为an+1+2n+1=3(an+2n)，l利用等比数列的通项公式即可得出．

解答：解：由

2a1=a2-3 2(a1+a2)=a3-7 2(a2+5)=a1+a3

，解得a₁=1．
由2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1，n∈N^*，当n≥2时，可得2Sn-1=an-2n+1，
两式相减，可得2an=an+1-an-2n，即an+1=3an+2n，
变形为an+1+2n+1=3(an+2n)，
∴数列{an+2n}（n≥2）是一个以a₂+4为首项，3为公比的等比数列．
由2a₁=a₂-3可得，a₂=5，
∴an+2n=9×3n-2，即an=3n-2n（n≥2），当n=1时，a₁=1，也满足该式子，
∴数列{a_n}的通项公式是an=3n-2n．
故答案为：an=3n-2n．

点评：本题考查了利用“当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”求通项公式a_n、变形转化为等比数列求通项公式的方法，考查了灵活的变形能力和推理能力，属于难题．