Question

已知：tanα＝1，sin(2α＋β)＝3sinβ．求tan(α＋β)．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：∵sin(2α＋β)＝3sinβ， 　　∴sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]． 　　∴sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα＝3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα． 　　∴4cos(α＋β)sinα＝2sin(α＋β)·cosα． 　　∴sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)sinα． 　　方程两边同除以cos(α＋β)·cosα得 　　tan(α＋β)＝2tanα． 　　又∵tanα＝1，∴tan(α＋β)＝2， 　　解法二：∵tanα＝1，∴α＝kπ＋，k∈Z． 　　∵sin(2α＋β)＝3sinβ，∴sin(2kπ＋＋β)＝3sinβ． 　　∴sin(＋β)＝3sinβ，∴cosβ＝3sinβ∴tanβ＝． 　　又∵tan(α＋β)＝， 　　∴tan(α＋β)＝ 　　∴tan(α＋β)＝2． 　　分析：观察角的特点：条件中出现了三种角α、2α＋β、β，而结论中只有α＋β可考虑将角2α＋β变成(α＋β)＋α，β变成(α＋β)－α．

提示：

(1)由tanα＝1，不能得出α＝ 　　(2)要能正确运用诱导公式． 　　(3)三角函数是以角为自变量的函数，角是主要变量．解题时，应认真去观察有关的角，确定能否求出角(如解法二)、能否拆角、怎样拆(如解法一)？从而把角看活，这样才能抓住问题的本质，拓宽解题的思路．