Question

4．{a_n}是无穷数列，若{a_n}是二项式（1+2x）ⁿ（n∈N⁺）展开式各项系数和，则$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$）=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 先利用二项式定理求得a_n=3ⁿ，再利用无穷递缩等比数列的各项和，求得结果．

解答 解：若{a_n}是二项式（1+2x）ⁿ（n∈N⁺）展开式各项系数和，则a_n=3ⁿ，
∴$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$）=$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$）=$\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，求无穷递缩等比数列的各项和，数列的极限，属于基础题．