Question

已知定点F(1,0)，动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M，并延长MP到点N，且·=0,||=||.

(1)求动点N的轨迹方程；

(2)直线l与动点N的轨迹交于A、B两点，若·=-4,且4≤||≤4，求直线l的斜率k的取值范围.

Answer 1

解：(1)设N(x,y)，由条件易知P(0,),M(-x,0).

    代入||=||，化简得y²=4x(x＞0),

    即为点N的轨迹方程.

    (2)设l与y²=4x(x＞0)交于A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)两点.

    当l与x轴垂直时，|AB|=42＜46不合题意.

    故可设l的方程为y=kx+b(k≠0).

    由·=-4，得x₁x₂+y₁y₂=-4.                 ①

    由点A、B在抛物线y²=4x(x＞0)上，

    得(y₁y₂)²=16x₁x₂.                    ②

    由①②得y₁y₂=-8.

    又由ky²-4y+4b=0.

    所以||²=(1+)(y₂-y₁)²

    =(1+)［(y₁+y₂)²-4y₁y₂］

    =(1+)(+32).

    因为4≤||≤4,

    所以96≤(1+)(+32)≤480.

    解得≤|k|≤1.

    故直线l的斜率k的取值范围是k∈［-1,-］∪［,1］.