Question

如果方程x²－(m＋3)x＋(m＋6)＝0的两个实根都在(2，4)之间，求m的范围．

Answer 1

答案：
解析：

分析：根据题意，满足条件的图象应该如下图所示． 　　第一，因为方程有两个实根，即函数有两个零点，而没有规定这两个零点是不是可以相等，所以第一个条件应该满足“Δ≥0”． 　　第二，对称轴必须通过区间(2，4)上的点〔简单地说成对称轴在(2，4)之间〕，这是因为图象与x轴的交点也一定关于对称轴对称．如果对称轴＜2，则一定有一个零点＜2，同样，如果对称轴大于4，则也一定有一个零点＞4，因此第二个条件是对称轴必须满足“2＜对称轴＜4”． 　　第三，由图可以看出f(2)、f(4)必须都大于0，甚至不能等于0，否则，如果f(2)＜0，则一定会有一个零点小于2，同理f(4)也有同样要求，所以第三个条件应该是f(2)＞0，f(4)＞0． 　　解：令f(x)＝x2－(m＋3)x＋(m＋6)，它的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为直线x＝， 　　∵方程x2－(m＋3)x＋(m＋6)＝0的两个实根都在(2，4)之间， 　　∴解得　∴3≤m＜． 　　所以方程x2－(m＋3)x＋(m＋6)＝0的两个实根都在(2，4)之间时，m的范围为[3，)． 　　点评：本题的不等式组由四个不等式组成，并不是多了一个条件，而是因为根所在的区间有两个端点，所以原来的第三个条件应该由两个不等式构成，总的来说，还是三个条件：Δ、对称轴、f(端点)．