Question

下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形序号)

Answer 1

答案：①④⑤
解析：

如图，设正方体为ABCD－A1B1C1D1．在图①中，连结AB1，则AB1⊥MN，又AB1是l在面ABB1A1内的射影，∴l⊥MN．同理，l⊥MP．∴l⊥平面MNP．故①符合．在图②中，延长MP交C1D1的延长线于E，连结NE，若l⊥面MNP，则l⊥NE．又C1D是l在平面CDD1C1内的射影，CD1⊥C1D，∴l⊥CD1，∴l⊥平面CDD1C1，矛盾．∴②不符合．在图③中，平面MNP与图①中的平面MNP不是同一平面，它们又过同一点，∴图③不符合．在图④中，l⊥MP，l⊥MN，∴l⊥平面MNP．延长PM交AB于F，取CD的中点G，则GN∥MP，∴G∈平面MNP．连结FG交BC于H，则H∈平面MNP，可证H是BC的中点，∴图④与图⑤中的平面MNP实为同一平面．∴⑤也符合．