Question

已知函数f（x）=

x2-3tx+18，x≤3 (t-13) x-3 ，x＞3

，记a_n=f（n）（n∈N^*），若{a_n}是递减数列，则实数t的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：要使函数f（x）=x²-3tx+18在x≤3（x∈N^*）时单调递减，则

5

2

＜

3t

2

，解得t；要使函数f（x）=(t-13)

x-3

在x＞3单调递减，则必须满足t-13＜0，解得t；又函数f（x）在x∈N^*时单调递减，则f(3)=36-9t＞(t-13)•

3-3

，解得t．联立解得即可．

解答：解：要使函数f（x）=x²-3tx+18在x≤3（x∈N^*）时单调递减，则

5

2

＜

3t

2

，解得t＞

5

3

；
要使函数f（x）=(t-13)

x-3

在x＞3单调递减，则必须满足t-13＜0，解得t＜13．
又函数f（x）在x∈N^*时单调递减，则f(3)=36-9t＞(t-13)•

3-3

，解得t＜4．
联立

t＞ 5 3 t＜13 t＜4

，解得

5

3

＜t＜4．
故t的取值范围是(

5

3

，4)．
故答案为：(

5

3

，4)．

点评：本题考查了利用函数的单调性研究数列的单调性、二次函数的单调性、一次函数的单调性，属于难题．