Question

同底的两个正三棱锥内接于半径为R的球，它们的侧面与底面所成角分别为α₁、α₂,求：

（1）侧面积的比；

（2）体积的比；

（3）角α₁+α₂的最大值.

Answer 1

解析:如图,（1）设O为球心，O₁为正三棱锥底面ABC所在圆的圆心，两个三棱锥的顶点分别为P、Q，取BC的中点D，则PD⊥BC，AD⊥BC，

∴∠PDO₁是侧面与底面所成二面角的平面角.

∴∠PDO₁=α₁.同理，∠QDO₁=α₂.

∴PD=.

∴S_P—ABC侧=3·BC·PD=BC·.∴S_Q—ABC侧=3·BC·QD=·BC·.

∴S_P—ABC侧∶S_Q—ABC侧=cosα₂∶cosα₁.

（2）PO₁=DO₁·tanα₁,QO₁=DO₁·tanα₂,

这两个三棱锥的底都是△ABC，∴V_P—ABC∶V_Q—ABC=PQ₁∶QO₁=tanα₁∶tanα₂.

（3）设三角形ABC边长为a,OO₁=h,

则tanα₁=,tanα₂=.而DO₁=,

AO₁=a,R²-h²=AO₁²=a²,

∴tan（α₁+α₂）=

∴＜α₁+α₂＜π.

当平面ABC通过球心O，a最大为R时，

tan（α₁+α₂）取最大值-，这时α₁+α₂也最大，最大值为π-arctan.