Question

（2013•枣庄二模）△ABC中，AB=3，∠A=60°，∠A的平分线AD交边BC于点D，且

AD

=

1

3

AC

+λ

AB

，则AD的长为

2

3

．

Answer 1

分析：取AC的一个三等分点E，满足AE=

1

3

AC，作DF平行于AE，则由条件可得四边形AEDF为平行四边形，求得∠AFD=120°，∠FAD=30°，∠FDA=30°，可得△AFD为等腰三角形，AF=DF=

1

3

AC，故平行四边形AEDF为菱形．利用余弦定理求得AD、BD、CD的值，再由三角形的内角平分线性质可得

AC

AB

=

CD

BD

，由此求得λ的值，从而得到AD的值．

解答：解：△ABC中，∵AB=3，∠A=60°，∠A的平分线AD交边BC于点D，且

AD

=

1

3

AC

+λ

AB

，
取AC的一个三等分点E，满足AE=

1

3

AC，作DF平行于AE，则由条件可得四边形AEDF为平行四边形，
∴∠AFD=120°，∠FAD=30°，∠FDA=30°，故△AFD为等腰三角形，∴AF=DF=

1

3

AC，故四边形AEDF为菱形．
再由AF=λAB=3λ=DF=

1

3

AC，可得 AC=9λ，菱形AEDF的边长为3λ．
△AFD中，由余弦定理可得AD²=（3λ）²+（3λ）²-2•3λ•3λ•cos120°=27λ²，∴AD=3

3

λ．
△ABD中，由余弦定理可得 BD²=3²+27λ²-2×3×3

3

λ×cos30°=27λ²-27λ+9，∴BD=3

3λ2-3λ+1

．
△ACD中，由余弦定理可得 CD²=81λ²+27λ²-2×9λ×3

3

λ×cos30°=27λ²=3

3

λ．
再由三角形的内角平分线性质可得

AC

AB

=

CD

BD

，即

9λ

3

=

3 3 λ

3 3λ2-3λ+1

，解得 λ=

2

3

，或λ=

1

3

 （舍去）．
故AD=3

3

λ=3

3

×

2

3

=2

3

，
故答案为 2

3

．

点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，余弦定理以及三角形的内角平分线性质应用，求得λ的值，是解题的关键和难点，属于中档题．