科目： 来源：2012年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）（解析版） 题型：填空题

科目： 来源：2012年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）（解析版） 题型：填空题

两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a₁=1，第2个五角形数记作a₂=5，第3个五角形数记作a₃=12，第4个五角形数记作a₄=22，…，若按此规律继续下去，则a₅=    ，若a_n=145，则n=    ．

科目： 来源：2012年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）（解析版） 题型：填空题

（几何证明选讲选做题）如图，圆O的半径为5cm，点P是弦AB的中点，OP=3cm，弦CD过点P，且，则CD的长为    cm．

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（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线l与曲线C的参数方程分别为l：（s为参数）和C：（t为参数），若l与C相交于A、B两点，则|AB|=    ．

科目： 来源：2012年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

已知函数．
（1）求的值；
（2）设，若，求的值．

科目： 来源：2012年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a表示．已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同．
（1）求a的值；
（2）求乙组四名同学数学成绩的方差；
（3）分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X，求随机变量X的分布列和均值（数学期望）．

科目： 来源：2012年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

如图所示，在三棱锥P-ABC中，，平面PAC⊥平面ABC，PD⊥AC于点D，AD=1，CD=3，．
（1）证明△PBC为直角三角形；
（2）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．

科目： 来源：2012年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

等比数列{a_n}的各项均为正数，2a₄，a₃，4a₅成等差数列，且．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设，求数列{b_n}的前n项和S_n．

科目： 来源：2012年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

已知椭圆的左，右两个顶点分别为A、B．曲线C是以A、B两点为顶点，离心率为的双曲线．设点P在第一象限且在曲线C上，直线AP与椭圆相交于另一点T．
（1）求曲线C的方程；
（2）设P、T两点的横坐标分别为x₁、x₂，证明：x₁•x₂=1；
（3）设△TAB与△POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S₁与S₂，且，求的取值范围．

科目： 来源：2012年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

设函数f（x）=e^x（e为自然对数的底数），（n∈N^*）．
（1）证明：f（x）≥g₁（x）；
（2）当x＞0时，比较f（x）与g_n（x）的大小，并说明理由；
（3）证明：（n∈N^*）．