科目： 来源：2012年广东省梅州市高考数学二模试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

己知点A（1，0），B（0，1），C（2sinθ，cosθ）．
（1）若=1，其中O为坐标原点，求sin2θ的值；
（2）若，且θ在第三象限．求sin（θ+）值．

科目： 来源：2012年广东省梅州市高考数学二模试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

一个社会调查机构就某社区居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．
（1）为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，求月收入在[1500，2000）（元）段应抽出的人数；
（2）为了估计该社区3个居民中恰有2个月收入在[2000，3000）（元）的概率，采用随机模拟的方法：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，我们用0，1，2，3，…表示收入在[2000，3000）（元）的居民，剩余的数字表示月收入不在[2000，3000）（元）的居民；再以每三个随机数为一组，代表统计的结果，经随机模拟产生了20组随机数如下：
907  966  191  925  271  932  812  458
569  683  431  257  393  027  556  488
730  113  537  989
据此估计，计算该社区3个居民中恰好有2个月收入在[2000，3000）（元）的概率．
（3）任意抽取该社区6个居民，用ξ表示月收入在（2000，3000）（元）的人数，求ξ的数学期望．

科目： 来源：2012年广东省梅州市高考数学二模试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

如图，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点B₁在底面ABC上的射影落在BC上，CA=CB=a，AB=．
（1）求证：AC⊥平面BCC₁B₁；
（2）当BB₁与底面ABC所成的角为60°，且AB₁⊥BC₁时，求点B₁到平面AC₁的距离．

科目： 来源：2012年广东省梅州市高考数学二模试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

己知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，不等式+≤1所表示的平面区域的面积为16．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C上是否存在两个不同的点P，Q，使P，Q关于直线y=4x+m对称？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

科目： 来源：2012年广东省梅州市高考数学二模试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

已知函数f（x）=lnx-ax．
（1）当a=1时，求f（x）的最大值；
（2）试讨论函数y=f（x）的零点情况；
（3）设a_k，b_k，…（k=1，2，…，n）均为正数，若a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n≤b₁+b₂+…+b_n，求证：…≤1．

科目： 来源：2012年广东省梅州市高考数学二模试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

定义在R上的函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）f（y），且当x＞0时，f（x）＞1．数列{a_n}满足a_n=1-3k，f（a_n+1）=．
（1）求f（0）的值，并证明f（x）是定义域上的增函数：
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设0＜a＜b_nS_n为数列{a_n}的前n项和，是否存在实数k，使得对任意正整数n，都有a＜S_n＜b？若存在，求出k的取值范围，若不存在，请说明理由．

科目： 来源：2012年北京市西城区高考数学一模试卷（文科）（解析版） 题型：选择题

科目： 来源：2012年北京市西城区高考数学一模试卷（文科）（解析版） 题型：选择题

执行如图所示的程序框图，若输入x=3，则输出y的值为（ ）

A．5
B．7
C．15
D．31

科目： 来源：2012年北京市西城区高考数学一模试卷（文科）（解析版） 题型：选择题

若a=log₂3，b=log₃2，，则下列结论正确的是（ ）
A．a＜c＜b
B．c＜a＜b
C．b＜c＜a
D．c＜b＜a

科目： 来源：2012年北京市西城区高考数学一模试卷（文科）（解析版） 题型：选择题

如图，在复平面内，复数z₁，z₂对应的向量分别是，，则复数对应的点位于（ ）

A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限