科目： 来源：2010-2011学年上海市十校高三（下）第二次联考数学试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

洛萨•科拉茨（Lothar Collatz，1910.7.6-1990.9.26）是德国数学家，他在1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半（即）；如果它是奇数，则将它乘3加1（即3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．如初始正整数为3，按照上述变换规则，我们得到一个数列：3，10，5，16，8，4，2，1．对科拉茨（Lothar Collatz）猜想，目前谁也不能证明，更不能否定．现在请你研究：如果对正整数n（首项）按照上述规则施行变换（注：1可以多次出现）后的第六项为1，则n的所有可能的取值为    ．

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设a₁，a₂，b₁，b₂均不为0，则“”是“关于x的不等式a₁x+b₁＞0与a₂x+b₂＞0的解集相同”（ ）
A．充要条件
B．充分非必要条件
C．必要非充分条件
D．非充分非必要条件

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在棱长为1的正四面体A₁A₂A₃A₄中，记，则a_ij不同取值的个数为（ ）
A．6
B．5
C．3
D．2

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若x∈A，且，则称A是“伙伴关系集合”．在集合的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

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如图，已知圆锥的底面半径为r=10，点Q为半圆弧的中点，点P为母线SA的中点．若PQ与SO所成角为，求此圆锥的全面积与体积．

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如图，折线段AP→PQ→QC是长方形休闲区域ABCD内规划的一条小路，已知AB=1百米，
AD=a（a≥1）百米，点P在以A为圆心，AB为半径的圆弧上，PQ⊥BC，Q为垂足．
（1）试问点P在圆弧何处，能使该小路的路程最短？最短路程为多少？
（2）当a=1时，过点P作PM⊥CD，垂足为M．若将矩形PQCM修建为观赏水池，试问点P在圆弧何处，能使水池的面积最大？

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已知集合M是满足下列性质的所有函数f（x）组成的集合：对于函数f（x），定义域内的任意两个不同自变量x₁，x₂，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立．
（1）判断函数f（x）=3x+1是否属于集合M？说明理由；
（2）若在（1，+∞）上属于M，求实数a的取值范围．

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定义：F（x，y）=y^x（x＞0，y＞0）
（1）解关于x的不等式F（1，x²）+F（2，x）≤3x-1；
（2）记f（x）=3•F（1，x），设，若不等式对n∈N*恒成立，求实数a的取值范围；
（3）记g（x）=F（x，2），正项数列a_n满足：，求数列a_n的通项公式，并求所有可能的乘积a_i•a_j（1≤i≤j≤n）的和．

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已知曲线，直线l：kx-y-k=0，O为坐标原点．
（1）讨论曲线C所表示的轨迹形状；
（2）当a=-1时，直线l与曲线C相交于两点M，N，试问在曲线C上是否存在点Q，使得？若存在，求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由；
（3）若直线l与x轴的交点为P，当a＞0时，是否存在这样的以P为直角顶点的内接于曲线C的等腰直角三角形？若存在，求出共有几个？若不存在，请说明理由．