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科目：
来源：2009-2010学年高考模拟数学专题：压轴大题（解析版）
题型：解答题
某校选了一批同学随机分成了A、B、C三个活动小组，参加环保宣传活动，甲、乙两名同学都被选中参加活动．
（1）求甲、乙两人被分在同一活动小组的概率；
（2）求甲、乙两人中有人被分在A组参加活动的概率．
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题型：解答题
给定项数为m（m∈N*，m≥3）的数列{an}，其中ai∈{0，1}（i=1，2，…，m）．若存在一个正整数k（2≤k≤m-1），若数列{an}中存在连续的k项和该数列中另一个连续的k项恰好按次序对应相等，则称数列{an}是“k阶可重复数列”，例如数列{an}：0，1，1，0，1，1，0．因为a1，a2，a3，a4与a4，a5，a6，a7按次序对应相等，所以数列{an}是“4阶可重复数列”．
（Ⅰ）分别判断下列数列
①{bn}：0，0，0，1，1，0，0，1，1，0．
②{cn}：1，1，1，1，1，0，1，1，1，1．是否是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项；
（Ⅱ）若数为m的数列{an}一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是多少？说明理由；
（Ⅲ）假设数列{an}不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项am后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，且a4=1，求数列{an}的最后一项am的值．
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题型：解答题
已知函数
，g（x）=lnx．
（Ⅰ）如果函数y=f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数a＞0，使得方程
在区间
内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
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题型：解答题
已知函数
，m为正整数．
（I）求f（1）+f（0）和f（x）+f（1-x）的值；
（II）若数列{a
n}的通项公式为
（n=1，2，…，m），求数列{a
n}的前m项和S
m；
（III）设数列{b
n}满足：
，b
n+1=b
n2+b
n，设
，若（Ⅱ）中的S
m满足对任意不小于3的正整数n，
恒成立，试求m的最大值．
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题型：解答题
已知曲线C：xy=1，过C上一点A
1（x
1，y
1）作斜率k
1的直线，交曲线C于另一点A
2（x
2，y
2），再过A
2（x
2，y
2）作斜率为k
2的直线，交曲线C于另一点A
3（x
3，y
3），…，过A
n（x
n，y
n）作斜率为k
n的直线，交曲线C于另一点A
n+1（x
n+1，y
n+1）…，其中x
1=1，
（1）求x
n+1与x
n的关系式；
（2）判断x
n与2的大小关系，并证明你的结论；
（3）求证：|x
1-2|+|x
2-2|+…+|x
n-2|＜2．
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题型：解答题
已知f（x）为二次函数，不等式f（x）+2＜0的解集为
，且对任意α，β∈R恒有f（sinα）≤0，f（2+cosβ）≥0．数列a
n满足a
1=1，
（n∈N
×）
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设
，求数列b
n的通项公式；
（Ⅲ）若（Ⅱ）中数列b
n的前n项和为S
n，求数列S
n•cos（b
nπ）的前n项和T
n．
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题型：解答题
已知函数
（n∈N
*）．
（Ⅰ）比较f
n′（0）与
的大小；
（Ⅱ）求证：
．
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题型：解答题
已知数列a
n的前n项和
，n∈N
+．
（1）求a
n的通项公式；
（2）设n∈N
+，集合A
n={y|y=a
i，i≤n，i∈N
+}，B={y|y=4m+1，m∈N
+}．现在集合A
n中随机取一个元素y，记y∈B的概率为p（n），求p（n）的表达式．
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题型：解答题
已知函数f（x）=ax+lnx，a∈R
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）对于曲线上的不同两点P
1（x
1，y
1），P
2（x
2，y
2），如果存在曲线上的点Q（x
，y
），且x
1＜x
＜x
2，使得曲线在点Q处的切线?∥P
1P
2，则称?为弦P
1P
2的伴随切线．特别地，当x
=λx
1+（1-λ）x
2（0＜λ＜1）时，又称?为P
1P
2的λ-伴随切线．
（ⅰ）求证：曲线y=f（x）的任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的；
（ⅱ）是否存在曲线C，使得曲线C的任意一条弦均有
伴随切线？若存在，给出一条这样的曲线，并证明你的结论；若不存在，说明理由．
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题型：解答题
设S
n为数列{a
n}的前n项和，对任意的n∈N
*，都有S
n=（m+1）-ma
n（m为常数，且m＞0）．
（1）求证：数列{a
n}是等比数列；
（2）设数列{a
n}的公比q=f（m），数列{b
n}满足b
1=2a
1，b
n=f（b
n-1）（n≥2，n∈N
*），求数列{b
n}的通项公式；
（3）在满足（2）的条件下，求证：数列{b
n2}的前n项和
．
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