科目： 来源：2010年高考数学模拟试卷2（理科）（解析版） 题型：解答题

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已知正三棱锥D-ABC的外接球的球心O满足，且外接球的体积为16π，则该三棱锥的体积为     ．

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下列结论：
①a=1是函数y=3sin（2ax+1）+2的周期为π的充要条件；
②老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5，10，15，20，25，30，35，40，45，50的学生进行作业检查，这种抽样方法是系统抽样；
③若“存在x∈R，使得ax²+（a-3）x+1＜0”是假命题，则1＜a＜9；
④某人向一个圆内投镖，则镖扎到该圆的内接正三角形区域内的概率为．
其中正确的是     ．

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已知向量，．
（Ⅰ）若，求sin2α的值；
（Ⅱ）设，求的取值范围．

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在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响．
（Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；
（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率；
（Ⅲ）该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X，求随机变量X的分布列和期望．

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已知数列{a_n}、{b_n}的前n项和分别为S_n、T_n，且满足2S_n=-2a_n+n²-n+2，2b_n=n-2-a_n．
（Ⅰ）求a₁、b₁的值，并证明数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）试确定实数λ的值，使数列是等差数列．

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已知三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC，∠ABC=90°，AB=BC=2，二面角P-AB-C为45°，D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E．
（Ⅰ）求证：AP⊥平面BDE；
（Ⅱ）求平面BEF与平面BAC所成的锐二面角的余弦值．

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已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、以椭圆C₁的短半轴长为半径的圆相切．
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程．
（Ⅱ）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁，且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直l₁于点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；
（Ⅲ）若AC、BD为椭圆C₁的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F₂，求四边形ABCD的面积的最小值．

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已知函数．
（Ⅰ）若函数在区间（其中a＞0）上存在极值，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）如果当x≥1时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）求证[（n+1）！]²＞（n+1）•e^n-2（n∈N^*）．