在正方体中，为的中点，则异面直线和间的距离     ．

 在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，求点到截面的距离               ．

已知棱长为1的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是B₁C₁和C₁D₁的中点，点A₁到平面DBEF的距离               ．

已知棱长为1的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E是A₁B₁的中点，求直线AE与平面ABC₁D₁所成角的正弦值                     ．

（12分）已知棱长为1的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁，求平面A₁BC₁与平面ABCD所成的二面角的大小

（12分）已知棱长为1的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F、M分别是A₁C₁、A₁D和B₁A上任一点，求证：平面A₁EF∥平面B₁MC．

（12分）在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角．

（1）若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；

（2）求异面直线AE与CD所成角的余弦值．

（12分）已知棱长为1的正方体AC₁，E、F分别是B₁C₁、C₁D的中点．

（1）求证：E、F、D、B共面；

（2）求点A₁到平面的BDEF的距离；

（3）求直线A₁D与平面BDEF所成的角．

（14分）已知正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点E为棱AB的中点，求：

（Ⅰ）D₁E与平面BC₁D所成角的大小；

（Ⅱ）二面角D－BC₁－C的大小；

（Ⅲ）异面直线B₁D₁与BC₁之间的距离．

（14分）如图：正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，过线段BD₁上一点P（P平面ACB₁）作垂直于D₁B的平面分别交过D₁的三条棱于E、F、G．

(1)求证：平面EFG∥平面A CB₁，并判断三角形类型；

(2)若正方体棱长为a，求△EFG的最大面积，并求此时EF与B₁C的距离．