已知，设和是方程的两个根，不等式对任意实数恒成立；函数有两个不同的零点.求使“P且Q”为真命题的实数的取值范围.

【解析】本试题主要考查了命题和函数零点的运用。由题设x₁＋x₂＝a，x₁x₂＝－2，

∴|x₁－x₂|＝＝.

当a∈[1,2]时，的最小值为3. 当a∈[1,2]时，的最小值为3.

要使|m－5|≤|x₁－x₂|对任意实数a∈[1,2]恒成立，只须|m－5|≤3，即2≤m≤8.

由已知，得f(x)＝3x²＋2mx＋m＋＝0的判别式

Δ＝4m²－12(m＋)＝4m²－12m－16>0，

得m<－1或m>4.

可得到要使“P∧Q”为真命题，只需P真Q真即可。

解：由题设x₁＋x₂＝a，x₁x₂＝－2，

∴|x₁－x₂|＝＝.

当a∈[1,2]时，的最小值为3.

要使|m－5|≤|x₁－x₂|对任意实数a∈[1,2]恒成立，只须|m－5|≤3，即2≤m≤8.

由已知，得f(x)＝3x²＋2mx＋m＋＝0的判别式

Δ＝4m²－12(m＋)＝4m²－12m－16>0，

得m<－1或m>4.

综上，要使“P∧Q”为真命题，只需P真Q真，即

解得实数m的取值范围是(4,8]

（1）若，，求证：；

（2）已知,且, 求证:与中至少有一个小于2.

【解析】第一问利用均值不等式，可知

第二问中，

证明：（1）

（2）

已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为,

（1）若方程有两个相等的根，求的解析式；

（2）若的最大值为正数，求的取值范围．

【解析】第一问中利用∵f(x)+2x>0的解集为(1,3),

设出二次函数的解析式，然后利用判别式得到a的值。

第二问中，

解：（1）∵f(x)+2x>0的解集为(1,3),

   ①

由方程

              ②

∵方程②有两个相等的根，

∴，

即5a²-4a-1=0,解得a=1(舍) 或 a=-1/5

a=-1/5代入①得：

（2）由

由 解得：

故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是

设集合M={x|(x+3)(x-2)<0}，N ={x|1≤x≤3},则M∩N =(    )

A、[1,2)    B、[1,2]     C、( 2,3]     D、[2,3]

向量，则点P在（     ）

  A、第一象限       B、第二象限       C、第三象限        D、第四象限

若，则下列不等式中不成立的是（    ）

  A、     B、      C、       D、

已知数列的通项公式是=，则220是这个数列的（    ）

  A、第19项       B、第20项      C、第21项         D、第22项

等差数列中，，则（    ）

  A、15       B、17       C、18              D、19

在△ABC中，，，则△ABC一定是（    ）

A、锐角三角形       B、钝角三角形  

C、等腰三角形       D、等边三角形

在各项都为正数的等比数列中，a₁=3，前三项和为21，则a₃ + a₄ + a₅ =（    ）

  A、33        B、72          C、84        D、189