（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）

如图，在棱长为1的正方体中，是棱的中点，

（1）求证：；

（2）求与平面所成角大小（用反三角函数表示）．

（本题满分14分）

已知，且以下命题都为真命题：

命题 实系数一元二次方程的两根都是虚数；

命题 存在复数同时满足且.

求实数的取值范围.

（本题满分16分，第（1）小题6分，第（2）小题10分）

如图，弯曲的河流是近似的抛物线，公路恰好是的准线，上的点到的距离最近，且为千米，城镇位于点的北偏东处，千米，现要在河岸边的某处修建一座码头，并修建两条公路，一条连接城镇，一条垂直连接公路以便建立水陆交通网．

（1）建立适当的坐标系，求抛物线的方程；

（2）为了降低修路成本，必须使修建的两条公路总长最小，请给出修建方案（作出图形，在图中标出此时码头的位置），并求公路总长的最小值（精确到0.001千米）

（本题满分18分，第（1）小题9分，第（2）小题9分）

设复数与复平面上点对应.

（1）设复数满足条件（其中，常数），当为奇数时，动点的轨迹为；当为偶数时，动点的轨迹为，且两条曲线都经过点，求轨迹与的方程；

（2）在（1）的条件下，轨迹上存在点，使点与点的最小距离不小于，求实数的取值范围.

（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题8分，第（3）小题6分）

已知双曲线：的一个焦点是，且．

（1）求双曲线的方程；

（2）设经过焦点的直线的一个法向量为，当直线与双曲线的右支相交于不同的两点时，求实数的取值范围；并证明中点在曲线上．

（3）设（2）中直线与双曲线的右支相交于两点，问是否存在实数，使得为锐角？若存在，请求出的范围；若不存在，请说明理由．

计算．

已知复数，则=        ．

经过点的直线l的点方向式方程是         ．

已知点，则线段AB的垂直平分线l的点法向式方程是          ．

已知方程表示的曲线是圆，则实数a的值是       ．