已知圆的直径AB，

求证圆的方程为

已知向量. ，满足  ，   求证：三角形 是正三角形　　　　

一动圆与圆C：(x＋3)²＋y²＝1外切，又与圆C₂：(x－3)²＋y²＝81内切，求动圆圆心的轨迹．

求与纵坐标轴相切，且与圆x² + y²－4x = 0外切的圆心的轨迹方程．

已知直线与圆相交于A,B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S。

（1）试将S表示成k的函数，并求出它的定义域；

（2）求S的最大值，并求取得最大值时k的值。

圆C：( x－1 )² + ( y－2 )² = 25，直线l：( 2m + 1 )x + ( m + 1 )y－7m－4 = 0（m∈R）．

（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒交于两点；

（2）求直线l被圆C截得的线段的最短长度，并求此时的m的值．

已知圆P的圆心在y轴上，直线l₁：3x + 4y + 3 = 0与圆P相交所得弦长为8，直线l₂：3x－4y + 37 = 0与圆P相切，求圆P的方程．

已知定点A到定直线l的距离是3，求动点M到定点A与它到定直线l的距离之比为2︰1的轨迹方程．

已知圆过点A（2，0）和B（0，－4），且圆心在直线l：x＋y＝0上，求圆的一般方程．

若方程x²＋y²－4λ²x＋2（λ－1）y＋4λ⁴＋1＝0表示的圆的圆心在直线y＝x上，求λ的值．