如图，半圆O的直径MN=2，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作正三角形ABC，问B在什么位置时，四边形OACB面积最大？最大面积是多少？ 

在某定点A测得一船初始位置B在A的北偏西α₁处，十分钟后船在A正北，又过十分钟后船到达A的北偏东α₂处.若船的航向与程度都不变，船向为北偏东θ，求θ的大小.(α₁＞α₂)

在湖面上高h米处，测得云的仰角为α,而湖中云之影（即云在湖中的像）的俯角为β，试证：云高为米.

在△ABC中，BC=a,CA=b,AB=c,若9a²+9b²－19c²=0，试求的值.?

在△ABC中，已知 A∶B = 1∶2，求证 a² + a c = b²．

已知△ABC的三个内角A、B、C依次成等差数列，求cos²A + cos²C的取值范围．

设1980年底我国人口为10亿，计算：

(1)如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底我国人口将达到多少？(结果保留四个有效数字)．

(2)要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？(精确到0．1%)．

某地区上年度电价为0．8元/kW·h，年用电量为a kW·h，本年度计划将电价降至0．55~0．75元/kW·h,而用户期望电价为0．4元/kW·h，经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本为0．3 元/kW·h．

(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益与实际电价x的函数关系；

(2)设k＝0．2a,当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?(注：收益＝实际用电量×(实际电价－成本))

某农场有废弃的旧墙一面，长为12米，现准备在该地建一个猪圈，其平面图形为矩形．面积要求112 m²,工程条件是：

(1)修整1米旧墙的费用是造1米新墙的25%．

(2)拆1米旧墙，并用所得材料建1米新墙的费用是造1米新墙的50%，问不计其他因素，施工人员如何利用旧墙，以使总费用最低？

设方程2^x＋x－3＝0的根为α，方程log₂x＋x－3＝0的根为β，求α＋β的值．