如图，已知F₁、F₂为双曲线（a＞0，b＞0）的焦点，过F₂作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF₁F₂＝30°．求双曲线的渐近线方程．

设F₁、F₂分别为椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右两个焦点.

（1）若椭圆C上的点A（1，）到F₁、F₂两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；

（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F₁K的中点的轨迹方程；

（3）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k_PM、k_PN时，那么k_PM与k_PN之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明.

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角.

（1）若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；

（2）求异面直线AE与CD所成角的大小.

如图，已知平行六面体ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形且∠C₁CB=∠C₁CD=∠BCD=60°.

（1）证明：C₁C⊥BD；

（2）假定CD=2，CC₁=，记面C₁BD为α，面CBD为β，求二面角α—BD—β的平面角的余弦值；

（3）当的值为多少时，能使A₁C⊥平面C₁BD？请给出证明.

如图所示，直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分别是A₁B₁、A₁A的中点.

（1）求的长；

（2）求cos< >的值；

（3）求证：A₁B⊥C₁M.

如图所示四面体ABCD中，AB、BC、BD两两互相垂直，且AB=BC=2，E是AC中点，异面直线AD与BE所成的角的大小为arccos，求四面体ABCD的体积.

四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一个平行四边形， ={2，－1，－4}，={4，2，0}，={－1，2，－1}.

（1）求证：PA⊥底面ABCD；

（2）求四棱锥P—ABCD的体积；

（3）对于向量a={x₁，y₁，z₁}，b={x₂，y₂，z₂}，c={x₃，y₃，z₃}，定义一种运算：

（a×b）·c=x₁y₂z₃+x₂y₃z₁+x₃y₁z₂－x₁y₃z₂－x₂y₁z₃－x₃y₂z₁，试计算（×）·的绝对值的值；说明其与四棱锥P—ABCD体积的关系，并由此猜想向量这一运算（×）·的绝对值的几何意义.

在棱长为a的正方体OABC—O′A′B′C′中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF.如图.

（1）求证：A′F⊥C′E.

（2）当三棱锥B′—BEF的体积取得最大值时，求二面角B′—EF—B的大小（结果用反三角函数表示）

如图，以正四棱锥V—ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O—xyz，其中Ox∥BC，Oy∥AB，E为VC的中点，正四棱锥底面边长为2a，高为h.

（1）求cos< >；

（2）记面BCV为α，面DCV为β，若∠BED是二面角α—VC—β的平面角，求∠BED.

如图，正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面边长为a，侧棱长为a.

（1）建立适当的坐标系，并写出点A、B、A₁、C₁的坐标；

（2）求AC₁与侧面ABB₁A₁所成的角.