已知函数f(x)＝－x²＋2x．

(1)讨论f(x)在区间(－∞，1]上的单调性，并证明你的结论；

(2)当x∈[0，5]时，求f(x)的最大值和最小值．

若椭圆＋y²＝a²(a＞0)与连接A(1，2)，B(3，4)两点的线段没有公共点，求a的取值范围．

已知椭圆＋＝1上两点P，Q，O是坐标原点，若OP，OQ所在直线的斜率之积为－．

(1)求证：|OP|²＋|OQ|²是定值；

(2)求PQ的中点M的轨迹方程．

如图，已知抛物线y²＝2px(p＞0)，过焦点F的直线与抛物线相交于A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)两点，P(x₀，y₀)是线段AB的中点，抛物线的准线为l，分别过点A，B，P作x轴的平行线，依次交l于点M，N，Q，连接FM，FN，FQ，AQ和BQ．尽可能找出图中各线段的垂直关系．

已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为k_PM，k_PN时，那么k_PM与k_PN之积是与点P的位置无关的定值－．试对双曲线－＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．

如图，若两条双曲线的焦点在同一坐标轴上且它们的虚轴长和实轴长的比值相等，我们就称这两条双曲线是互相平行的．求经过点(2，0)且与双曲线－＝1平行的双曲线的标准方程．

设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的上顶点为A，椭圆C上两点P，Q在x轴上的射影分别为左焦点F₁和右焦点F₂，直线PQ的斜率为，过点A且与AF₁垂直的直线与x轴交于点B，△AF₁B的外接圆为圆M．

(1)求椭圆的离心率；

(2)直线3x＋4y＋a²＝0与圆M相交于E，F两点，且·＝－a²，求椭圆的方程．

已知双曲线的中心在原点，焦点F₁，F₂在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．

(1)求双曲线的方程；

(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F₁F₂为直径的圆上；

(3)求△F₁MF₂的面积．

已知双曲线C：－y²＝1，P为C上任意一点．

(1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；

(2)设点A的坐标为(3，0)，求|PA|的最小值．

已知A(，0)，B(，－)两点在椭圆C₁：＋＝1(a＞b＞0)上，若椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直l₁于点P，线段PF₂垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程．