解答题

A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6千米，C在B北偏西，且相距4千米，P为敌方炮兵阵地．某时刻，A处发现敌炮兵阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P较远，因此4秒后，B、C才同时发现这一信号．已知此信号的传播速度为1千米/秒，A若炮击P地，求炮击的方位角．

已知双曲线S的两条渐近线过坐标原点，且与以点A(，0)为圆心，1为半径的圆相切，双曲线S的一个顶点与点A关于直线y＝x对称．设直线l过点A，斜率为k．

(1)求双曲线S的方程；

(2)当k＝1时，在双曲线S的上支上求点B，使其与直线l的距离为；

(3)当0≤k＜1时，若双曲线S的上支上有且只有一个点B到直线l的距离为，求斜率k的值及相应的点B的坐标．如图．

过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F作双曲线在第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为P，l与双曲线的左、右支的交点分别为A、B．

(1)求证：P在双曲线的右准线上；

(2)求双曲线的离心率e的取值范围；

(3)若|AP|＝3|PB|，求离心率e．

已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)左、右焦点分别为F₁和F₂，P是它左侧分支上一点，P点到左准线距离为d．

(1)若y＝x是已知双曲线的一条渐近线，是否存在点P，使d，|PF₁|，|PF₂|成等比数列？若不存在，说明理由．

(2)在已知双曲线的左分支上，使d，|PF₁|，|PF₂|成等比数列的点P存在时，求离心率e的取值范围．

椭圆E的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率e＝，过点C(－1，0)的直线l交椭圆于A、B两点，且满足＝λ(λ≥2)．

(1)若λ为常数，试用直线l的斜率k(k≠0)表示△OAB的面积；

(2)若λ为常数，当△OAB的面积取得最大值时，求椭圆E的方程；

(3)若λ变化，且λ＝k²＋1，试问：实数λ和直线l的斜率k(k∈R)分别为何值时，椭圆E的短半轴取得最大值？并求此时的椭圆方程．

一中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆与直线x＋y＝3相交于A、B两点，C是AB的中点，若|AB|＝2，O是坐标原点，OC的斜率是2，求椭圆的方程．

已知抛物线y²＝2px(p＞0)，过动点M(a，0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，①若|AB|≤2p，求a的取值范围；②若线段AB的垂直平分线交AB于点Q，交x轴于点N，求直角三角形MNQ的面积．

如图，P是抛物线C：y＝x²上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q．

(1)若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；

(2)若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求＋的取值范围．

设P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂)，…，P_n(x_n，y_n)(n≥3，n∈N)是二次曲线C上的点，且a₁＝|OP₁|²，a₂＝|OP₂|²，…，a_n＝|OP_n|²构成了一个公差为d(d≠0)的等差数列，其中O是坐标原点．记S_n＝a₁＋a₂＋…＋a_n．

(1)若C的方程为－y²＝1，n＝3．点P₁(3，0)及S₃＝162，求点P₃的坐标；(只需写出一个)

(2)若C的方程为y²＝2px(p≠0)．点P₁(0，0)，对于给定的自然数n，证明：(x₁＋p)²，(x₂＋p)²，…，(x_m＋p)²成等差数列；

(3)若C的方程为＋＝1(a＞b＞0)．点P₁(a，0)，对于给定的自然数n，当公差d变化时，求S_n的最小值．

如图，直线y＝x与抛物线y＝x²－4交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与直线y＝－5交于Q点．

(1)求点Q的坐标；

(2)当P为抛物线上位于线段AB下方(含A、B)的动点时，求△OPQ面积的最大值．